TEOREMA DE PITAGORAS

TEOREMA DE PITAGORAS

Para hablar de otra demostración del teorema de Pitágoras mencionaremos los movimientos euclidianos.


*Rotación: para efectuar una rotación se necesita un punto en el plano alrededor del que se hará la rotación y un ángulo que determina de cuantos grados es esta.


*Traslaciones paralelas:
Para efectuar una traslación paralela se toma un segmento AB. Si un punto Q se traslada a un punto Q` según AB, entonces la longitud de QQ´ es igual a la longitud de AB y QQ´ es paralelo a AB, mientras que QA es paralelo a Q`B.


*Reflexión o simetría
Para efectuar una reflexión o simetría se toma una recta llamada eje de reflexión o eje de simetría.
Por tanto si un punto esta en el eje de simetría , su reflexión es el mismo punto; es decir que la recta se refleja en ella misma. Cualquier otro punto del plano se refleja al otro lado del eje de simetría.



Otra demostración del teorema de Pitágoras

Las tres transformaciones euclidianas pueden utilizarse para dar otra demostración del teorema de Pitágoras, a saber: en todo triangulo rectángulo, la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa.

Sea A`BC un triangulo rectángulo en el que BC es la hipotenusa.
Ahora realizamos las siguientes transformaciones:


1. Mediante una reflexión con eje de simetría BC, obténgase el triangulo rectángulo ABC.


2. Por traslación, según BC, del triangulo ABC obténgase el triangulo T1.

3. Por rotación de 90º alrededor de, obténgase el triangulo T2.

4. Con el triangulo T2 se repite el paso 2 y se continua hasta obtener el triangulo T6.

Es claro que las hipotenusas de los triángulos ABC, T2, T4 Y T6 son todas iguales a BC y que dos consecutivas forman ángulo de 90º. Esto quiere decir que ellas forman un cuadrado.

Como el área del cuadrado es (BC)2 y también el área del cuadrado puede hallarse con el área de 5 piezas que lo conforman, a saber los cuatro triángulos iguales y el cuadrado entonces se tiene que:

TESELACION HEXAGONAL

TESELACIONES REGULARES

La Teselacion regular es el cubrimiento del plano con polígonos regulares y congruentes. Son sólo tres los polígonos regulares que cubren (o embaldosan) el plano Euclidiano: el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono regular.
Los únicos polígonos regulares que cubren completamente una superficie plana son: el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono.
Como la unión en cada vértice debe sumar 360º para que no queden espacios, los únicos polígonos regulares que suman 360 al unirlos por sus ángulos, interiores son estos tres.

Triángulos equilátero, cuadrados y Hexágonos

TESELACION SEMI-REGULAR
Son aquellas que contienen 2 o más polígonos regulares en su formación. Una teselacion semi-regular tiene las siguientes propiedades:
1. Esta formada sólo por polígonos regulares.
2. El arreglo de polígonos es idéntico en cada vértice.
3. Existen sólo 8 teselaciones semi-regulares



Construcción de teselas


Método Quita y Pon
Este consiste en una técnica muy buena en donde, se dibuja una figura sobre el papel para luego recortarla y sobreponerla en otro papel para tomar su contorno varias veces hasta obtener una teselacion.
Método de las conejas

Es un método por el cual se usan solo círculos y óvalos y se crean figuras como CONEJAS aunque solo se puede hacer a blanco y negro aunque casi nunca se usa el blanco en las conejas de teselacion, pero muchos lo hacen combinándolo con el método "encin, francaso" que es un error pues con ese método no se crean teselaciones sino formas de botellas de alcohol. Con este método lo esencial es que no quede ni una sola figura igual a otra aunque lo que los diferencie sea el color puse puede haber un negro y un blanco iguales en figura y la primera teselacion que se hizo con este método hizo la forma de una coneja con 54 conejitos pero todos diferentes entre si.


APLICACIÓN DE LAS TESELACIONES EN LA VIDA REAL


Las teselaciones han sido utilizadas en todo el mundo desde los tiempo más antiguos para recubrir suelos y paredes, e igualmente como motivos decorativos de muebles, alfombras, tapices en este caso hablaremos de la teselacion hexagonal de un suelo como lo muestra la fotografía.


Método para teselar que se ha utilizado en el piso mostrado en la fotografía

La teselacion hexagonal es Uno de los métodos más simples, la construcción de su patrón, involucra giros en 60º y 180º de dos líneas arbitrarias, a lo que subyace un triángulo equilátero.
Como en todos los casos de patrones equiláteros, al girarlo en 60º se obtiene un patrón hexagonal (basado en un hexágono regular), tal cual como al girar un triángulo equilátero en 60º se genera un hexágono regular.

Dado que en el diseño subyace un hexágono regular, la teselación es un caso particular del caso anterior, pues un hexágono regular es un polígono con cantidad par de lados y cuenta con paralelismo. Por lo tanto, la teselación, se genera por traslación, según los vectores que unen puntos medios de lados opuestos.


Fotografía de un piso con teselacion hexagonal

Una de las ventajas de la teselacion hexagonal es que resulta ser la más económica y rinde más.
En efecto, es fácil comprobar que el cociente entre el cuadrado del perímetro y área vale:
Para el triangulo , para el cuadrado 16 y para el hexágono.